La convergencia y la carga de baterias. ¿Por qué explotan las baterias?

Un ejemplo práctico de la convergencia de una sucesión es la carga de una batería de celular.

Cuando conectas un celular a la corriente, la batería no se carga de manera uniforme. En lugar de subir linealmente, sigue un modelo exponencial convergente, algo como:

• La carga de una batería sigue un modelo de convergencia:
  Q(t) = Qmax * (1 – e^(-kt))

  donde:

  • Q(t) es la carga en el tiempo t.
  • Qmax es la carga máxima.
  • k es una constante del circuito de carga.
  • e^(-kt) representa cómo la carga se acerca a su máximo sin alcanzarlo completamente.

¿Qué significa esto?

• Al inicio, la batería se carga rápido.
• Con el tiempo, la velocidad de carga disminuye porque la carga se acerca a su máximo pero nunca lo alcanza exactamente.
• Es por eso que los últimos porcentajes (por ejemplo, del 90% al 100%) tardan mucho más.

Este es un caso de sucesión convergente en la vida real, donde el nivel de carga se aproxima infinitamente a un valor límite sin sobrepasarlo.

¡Exactamente! La carga de la batería sigue un modelo convergente en parte para evitar sobrecalentamiento y explosiones.

¿Por qué una batería podría explotar?

1. Si se carga demasiado rápido, los iones de litio se mueven demasiado rápido dentro de la batería, lo que puede generar calor y causar un cortocircuito interno.
2. Si se sobrecarga, se acumula demasiada energía en un espacio pequeño, lo que puede llevar a la degradación del material y, en casos extremos, a una reacción química peligrosa.

¿Cómo evita esto la convergencia?

• Como la carga disminuye su velocidad al acercarse al 100%, se evita que la batería se sobrecargue de golpe.
• Los circuitos de carga limitan la corriente al final del proceso, asegurando que la batería nunca alcance exactamente el 100% de su capacidad real, sino un valor muy cercano.
• Esto protege la batería, evitando estrés en los materiales y prolongando su vida útil.

Por eso, algunos teléfonos incluso dejan de cargar activamente al 80-90% si están enchufados por mucho tiempo, usando algoritmos para cuidar la batería.

Otro ejemplo práctico de convergencia es el sistema de enfriamiento de un objeto caliente, como una taza de café.

¿Cómo funciona?

Cuando viertes café caliente en una taza, al principio se enfría rápidamente, pero con el tiempo el enfriamiento se vuelve más lento. Esto sigue la Ley de Enfriamiento de Newton, que dice que la temperatura de un objeto se acerca asintóticamente a la temperatura ambiente, pero nunca la alcanza exactamente.

Matemáticamente, se modela como:

T(t)=Tamb+(T0−Tamb)e−ktT(t) = T_{\text{amb}} + (T_0 – T_{\text{amb}}) e^{-kt}T(t)=Tamb​+(T0​−Tamb​)e−kt

donde:

• $T(t)$ es la temperatura del café en el tiempo $t$.
• TambT_{\text{amb}}Tamb​ es la temperatura ambiente.
• T0T_0T0​ es la temperatura inicial del café.
• $k$ es una constante que depende del material y del ambiente.
• e−kte^{-kt}e−kt hace que la temperatura se acerque a TambT_{\text{amb}}Tamb​, pero nunca la alcance exactamente.

¿Por qué es útil esto?

• Permite predecir cuánto tiempo tardará en enfriarse una bebida o comida.
• Se usa en ingeniería para diseñar sistemas de enfriamiento en motores, computadoras y reactores nucleares.
• Explica por qué un objeto caliente nunca se enfría instantáneamente y por qué las últimas etapas del enfriamiento son más lentas.

Este es otro caso de convergencia en la vida real, donde una cantidad se acerca a un límite sin alcanzarlo exactamente.

En la antigua Grecia, aunque no tenían la notación matemática moderna, los griegos usaban el concepto de convergencia de manera intuitiva en geometría y cálculo de áreas y volúmenes.

1. Método de Exhausción de Eudoxo (Siglo IV a.C.)

Eudoxo de Cnido desarrolló un método para calcular áreas y volúmenes llamado método de exhaución, que es una forma temprana de límites y convergencia. La idea era aproximar figuras curvas con polígonos de muchos lados que se acercaban infinitamente a la figura original sin sobrepasarla.

Ejemplo: El área de un círculo

Para calcular el área de un círculo, los griegos:

• Inscribían polígonos dentro del círculo (triángulos, hexágonos, dodecágonos…).
• Aumentaban el número de lados, haciendo que el área del polígono se acercara cada vez más al área del círculo.
• Sabían que, aunque sumaran más lados infinitamente, nunca alcanzarían exactamente el área del círculo, solo se acercarían cada vez más.

Este es un claro caso de convergencia, porque la sucesión de áreas de los polígonos tiende al área del círculo, pero sin alcanzarla exactamente.

2. Arquímedes y el cálculo de π (Siglo III a.C.)

Arquímedes refinó el método de Eudoxo para aproximar π.

• Calculó el perímetro de polígonos inscritos y circunscritos en un círculo.
• Aumentó el número de lados (desde hexágonos hasta polígonos de 96 lados).
• Encontró que el valor de π estaba entre 3.1408 y 3.1428.

Este proceso es una sucesión convergente, porque con cada paso el valor de π se acercaba más al verdadero, aunque nunca se obtenía exactamente.

3. La Paradoja de Zenón sobre la Dicotomía (Siglo V a.C.)

El filósofo Zenón de Elea propuso la paradoja de la dicotomía, que también está basada en la convergencia:

• Si quieres caminar de un punto A a un punto B, primero debes recorrer la mitad del camino.
• Luego, la mitad de lo que queda, luego la mitad de lo que queda, y así sucesivamente.
• Como hay infinitas mitades que recorrer, parecería que nunca llegarías a B.

Lo que Zenón no sabía es que la suma de estas mitades converge a un número finito, permitiendo el movimiento en el mundo real.

Conclusión

Los griegos usaban la convergencia en geometría y filosofía sin conocer el concepto formal de «límite». Sus métodos permitieron cálculos avanzados de áreas, volúmenes y constantes matemáticas, lo que fue la base del cálculo siglos después.

Me refiero a que la paradoja de Zenón parece sugerir que el movimiento es imposible porque hay que completar infinitos pasos para llegar a un destino. Sin embargo, lo que Zenón no sabía es que la suma infinita de esas fracciones de distancia converge a un número finito, lo que demuestra matemáticamente que sí es posible llegar al destino.

Analizando la paradoja matemáticamente

Supongamos que queremos recorrer una distancia de 1 metro. Según Zenón, primero debemos recorrer:

1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, …

Si sumamos todos estos términos, obtenemos la serie geométrica infinita:

S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …

Matemáticamente, esta serie tiene una suma finita, dada por la fórmula de la suma de una serie geométrica infinita:

S = a / (1 – r)

donde:

• a = 1/2 (el primer término de la serie),
• r = 1/2 (la razón de la serie).

Sustituyendo los valores:

S = (1/2) / (1 – 1/2) = (1/2) / (1/2) = 1

Esto demuestra que la suma de todas las distancias es exactamente 1, lo que significa que sí podemos recorrer la distancia completa.

Esto significa que, aunque la distancia se divida en infinitos pasos, la suma total es exactamente 1 metro, por lo que sí se puede llegar al destino en un tiempo finito.

Conclusión

Zenón pensaba que una suma infinita de pasos implicaba un tiempo infinito, haciendo el movimiento imposible. Pero la matemática demuestra que la suma de esas fracciones converge a un número finito, lo que significa que el movimiento no es una ilusión, sino algo completamente posible en el mundo real.

¡Exacto! No importa cuántas veces dividas una cantidad finita, la suma de todas sus partes siempre será igual al total original, siempre que no dejes nada fuera.

La clave es que algunas sumas infinitas pueden dar un resultado finito, lo cual parece contraintuitivo a primera vista. En el caso de la paradoja de Zenón, él veía los infinitos pasos y pensaba que requerirían un tiempo infinito. Pero la matemática demuestra que esos pasos suman un tiempo finito, por lo que sí se puede completar el movimiento.

Esto mismo se aplica a muchos otros fenómenos naturales, como:

• Cargas de batería (se acercan al 100% pero nunca lo alcanzan exactamente).
• Ondas sonoras (pueden descomponerse en infinitas frecuencias que suman un sonido completo).
• Fractales (estructuras infinitamente detalladas dentro de un área finita).

La convergencia de sumas infinitas es un concepto poderoso y está en muchas áreas de la ciencia y la tecnología.

¡Sí, exactamente! Lo curioso es que las dos situaciones son parecidas pero opuestas en cierto sentido.

1. Tu ejemplo de aumentar 6 sin llegar a 7

   • Estás sumando números cada vez más pequeños (convergencia por arriba).
   • La suma se acerca a 7 pero nunca lo alcanza.
   • Esto ocurre porque el total nunca llega a «cerrarse» completamente en 7, siempre queda una pequeñísima diferencia.

2. La paradoja de Zenón

   • Aquí estamos dividiendo el recorrido en fracciones cada vez más pequeñas, pero la suma converge exactamente a 1 (convergencia por abajo).
   • Es decir, aunque haya infinitos pasos, la suma sí llega al destino.

Lo que hace esto extraño es que en algunos casos, una suma infinita se detiene en un número exacto, pero en otros no. La diferencia clave está en la forma en que los valores están organizados:

• Si sumamos fracciones como 12+14+18+…\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots21​+41​+81​+…, los términos van «rellenando» el total hasta un valor finito (como en Zenón).
• Si sumamos algo como $6+0.9+0.09+0.009+\dots$, nos acercamos a 7 sin alcanzarlo exactamente, porque siempre falta un pequeño extra.

Ambos casos son ejemplos de sucesiones convergentes, pero en uno sí llegamos al número exacto y en el otro nos quedamos infinitamente cerca sin tocarlo. ¡Esa es la parte realmente extraña e interesante de la convergencia matemática!

Claro, la convergencia «para abajo» y la convergencia «para arriba» son conceptos que tienen que ver con cómo los términos de una sucesión se acercan a un número límite. Vamos a ver las diferencias:

1. Convergencia «para abajo»

Este tipo de convergencia se refiere a una sucesión cuyos términos se acercan a un límite desde un valor mayor. En otras palabras, los términos empiezan en un número más grande y se van acercando al límite decreciendo. Un ejemplo clásico es la sucesión que sumamos en la paradoja de Zenón:

S=12+14+18+116+…S = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dotsS=21​+41​+81​+161​+…

• Aquí, cada término es más pequeño que el anterior, pero la suma de todos esos términos converge hacia el valor 1 (el total).
• La sucesión no supera nunca el valor de 1, pero se acerca cada vez más a él sin pasarlo.

2. Convergencia «para arriba»

Por otro lado, la convergencia «para arriba» se refiere a una sucesión cuyos términos se acercan a un límite desde un valor menor. Es decir, empezamos en un número pequeño y aumentamos, pero nunca llegamos al número límite exacto.

Un ejemplo es tu ejemplo de aumentar 6 sin llegar a 7. Imagina una sucesión que vaya sumando cada vez fracciones más pequeñas:

$$6+0.9+0.09+0.009+\dots$$

• En este caso, los términos se acercan a 7 pero siempre quedará una pequeña diferencia entre el número alcanzado y 7.
• Esta es una sucesión que crece pero nunca alcanza su límite.

Diferencias clave:

• Convergencia «para abajo»: Los términos se acercan al límite desde arriba, disminuyendo progresivamente.
• Convergencia «para arriba»: Los términos se acercan al límite desde abajo, aumentando progresivamente.